二项分布的期望值 E(n)=np 推导

  1. 云栖社区>
  2. 博客>
  3. 正文

二项分布的期望值 E(n)=np 推导

德哥 2016-03-28 11:31:34 浏览3707
展开阅读全文
二项分布的期望值 E(n)=np,这个公式是如何推导来的呢?
n表示n次试验,p表示单次试验的成功概率。
E(n)表示n次试验的成功次数的数学期望。

这里还需要依赖一个求数学期望的公式,所有概率相加=1
所有概率相加=1,即
∑k=0,n    C(n,k) * p^k * (1-p)^(n-k) = 1

对于试验n次的情况,有n+1种结果,0次成功系数为0,所以k=1开始即可。
∑k=0,n   k * P(k)
=
∑k=1,n   k * P(k)

E(n)=np这个公式是如何推导来的呢?
首选要知道所有的可能性,例如n次试验,可能成功0次,1次,2次,。。。n次。即有n+1种可能。
假设做6次试验,0表示成功,1表是失败。
可能性如下:
000000
100000
010000
001000
000100
000010
000001
......
成功0次的可能性有1种,成功1次的可能性有6种,这是n选k的问题。
n次试验,成功k次的可能性有多少种=C(n,k)=n! / (k!(n-k)!)
n次试验,成功k次的概率=C(n,k) * p^k * (1-p)^(n-k)
所有概率相加=1,即
∑k=0,n    C(n,k) * p^k * (1-p)^(n-k) = 1

数学期望E(n),表示做n次试验,最可能成功多少次:
将成功次数乘以对应的概率,求相加即可得到它的数学期望。
∑k=1,n   k * C(n,k) p^k * (1-p)^(n-k)
=
∑k=1,n   k * (n! / (k!(n-k)!)) p^k * (1-p)^(n-k)
=
∑k=1,n   k * (n! / (k(k-1)!(n-k)!)) p^k * (1-p)^(n-k)
=
∑k=1,n   (n! / ((k-1)!(n-k)!)) p^k * (1-p)^(n-k)
=
∑k=1,n   (n(n-1)! / ((k-1)!(n-k)!)) * p * p^(k-1) * (1-p)^(n-k)
=
np∑k=1,n   ((n-1)! / ((k-1)!(n-k)!)) * p^(k-1) * (1-p)^(n-k)
对n-1,k-1进行换元:
a=k-1
b=n-1
n-k = (a+1) - (b+1) = b-a
求和的下标k=1怎么换呢?k=1时,根据a=k-1,得出当k=1时a=0。
求和式中,当k=n时,a = k-1 = n-1
而换元中b=n-1,所以n-1=b
换元后,
=
np∑a=0,b   ((b)! / ((a)!(b-a)!)) p^(a) * (1-p)^(b-a)
注意这个求和表达式∑a=0,b   ((b)! / ((a)!(b-a)!)) p^(a) * (1-p)^(b-a)
其实就是二项式的所有可能的概率之和,必然等于1.
∑k=0,n    C(n,k) * p^k * (1-p)^(n-k) = 1
因此最后推导出来
二项分布的期望值 E(n)=np*1=np

[参考]
1. 可汗学院公开课:统计学24-二项分布的期望值
http://v.ku6.com/special/show_6598382/L6rDnRd-Ra0eamhycyU8ag...html

网友评论

登录后评论
0/500
评论
德哥
+ 关注