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线性同余方程的特点及求解是什么?

线性同余方程的特点及求解是什么?

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知与谁同 2018-07-19 15:32:09 5234 0
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  • 这个时候,玄酱是不是应该说点什么...
    线性同余方程 在数论中,线性同余方程是最基本的同余方程,“线性”表示方程的未知数次数是一次,即形如: 的方程。此方程有解当且仅当 b 能够被 a 与 n 的最大公约数整除(记作 gcd(a,n) | b)。这时,如果 x0 是方程的一个解,那么所有的解可以表示为: 其中d 是a 与 n 的最大公约数。在模 n 的完全剩余系 {0,1,…,n-1} 中,恰有 d 个解。 目录 1 例子 2 求特殊解 3 线性同余方程组 4 参见 例子 在方程 3x ≡ 2 (mod 6) 中, d = gcd(3,6) = 3 ,3 不整除 2,因此方程无解。 在方程 5x ≡ 2 (mod 6) 中, d = gcd(5,6) = 1,1 整除 2,因此方程在{0,1,2,3,4,5} 中恰有一个解: x=4。 在方程 4x ≡ 2 (mod 6) 中, d = gcd(4,6) = 2,2 整除 2,因此方程在{0,1,2,3,4,5} 中恰有两个解: x=2 and x=5。 求特殊解 对于线性同余方程 ax ≡ b (mod n) (1) 若d = gcd(a, n 整除 b ,那么为整数。由裴蜀定理,存在整数对 (r,s) (可用辗转相除法求得)使得 ar+sn=d,因此 是方程 (1) 的一个解。其他的解都关于与 x 同余。 举例来说,方程 12x ≡ 20 (mod 28) 中d = gcd(12,28) = 4 。注意到 ,因此 是一个解。对模 28 来说,所有的解就是 {4,11,18,25} 。 线性同余方程组 线性同余方程组的求解可以分解为求若干个线性同余方程。比如,对于线性同余方程组: 2x ≡ 2 (mod 6) 3x ≡ 2 (mod 7) 2x ≡ 4 (mod 8) 首先求解第一个方程,得到x ≡ 1 (mod 3),于是令x = 3k + 1,第二个方程就变为: 9k ≡ 1 (mod 7) 解得k ≡ 3 (mod 7)。于是,再令k = 7l + 3,第三个方程就可以化为: 42l ≡ 16 (mod 8) 解出:l ≡ 0 (mod 4),即 l = 4m。代入原来的表达式就有 x = 21(4m) + 10 = 84m + 10,即解为: x≡ 10 (mod 84) 对于一般情况下是否有解,以及解得情况,则需用到数论中的中国剩余定理。 参见 二次剩余 中国剩余定理 谈谈解线性同余方程 因为ACM/ICPC中有些题目是关于数论的,特别是解线性同余方程,所以有必要准备下这方面的知识。关于这部分知识,我先后翻看过很多资料,包括陈景润的《初等数论》、程序设计竞赛例题解、“黑书”和很多网上资料,个人认为讲的最好最透彻的是《算法导论》中的有关章节,看了之后恍然大悟。经过几天的自学,自己觉得基本掌握了其中的“奥妙”。拿出来写成文章。 那么什么是线性同余方程。对于方程:ax≡b(mod m),a,b,m都是整数,求解x 的值。 解题例程:pku1061 青蛙的约会 解题报告 符号说明: mod表示:取模运算 ax≡b(mod m)表示:(ax - b) mod m = 0,即同余 gcd(a,b)表示:a和b的最大公约数 求解ax≡b(mod n)的原理: 对于方程ax≡b(mod n),存在ax + by = gcd(a,b),x,y是整数。而ax≡b(mod n)的解可以由x,y来堆砌。具体做法,见下面的MLES算法。 第一个问题:求解gcd(a,b) 定理一:gcd(a,b) = gcd(b,a mod b) 实现:古老的欧几里德算法 int Euclid(int a,int b) { if(b == 0) return a; else return Euclid(b,mod(a,b)); } 附:取模运算 int mod(int a,int b) { if(a >= 0) return a % b; else return a % b + b; } 第二个问题:求解ax + by = gcd(a,b) 定理二:gcd(b,a mod b) = b * x' + (a mod b) * y' = b * x' + (a - a / b * b) * y' = a * y' + b * (x' - a / b * y') = a * x + b * y 则:x = y' y = x' - a / b * y' 实现: triple Extended_Euclid(int a,int b) { triple result; if(b == 0) { result.d = a; result.x = 1; result.y = 0; } else { triple ee = Extended_Euclid(b,mod(a,b)); result.d = ee.d; result.x = ee.y; result.y = ee.x - (a/b)*ee.y; } return result; } 附:三元组triple的定义 struct triple { int d,x,y; }; 第三个问题:求解ax≡b(mod n) 实现:由x,y堆砌方程的解 int MLES(int a,int b,int n) { triple ee = Extended_Euclid(a,n); if(mod(b,ee.d) == 0) return mod((ee.x * (b / ee.d)),n / ee.d); else return -1; }//返回-1为无解,否则返回的是方程的最小解 说明:ax≡b(mod n)解的个数: 如果ee.d 整除 b 则有ee.d个解; 如果ee.d 不能整除 b 则无解。

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    2019-07-17 22:51:47
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