工业机器人的运动
- 点到点运动：不需要在笛卡尔空间规划末端运动轨迹，机器人各个关节运动不需要联动。
- 轨迹跟踪运动：以点到点为基础，各个关节运动需要联动。
关节空间运动规划
目标：使关节空间轨迹平滑。
3次多项式插值
做如下假设：某个关节从t0 时刻的位置q0 运动到tf 时刻的位置qf 。在t0 和tf 时刻速度均为0。
q(0)=q0,q(tf)=qf,q˙(0)=0,q˙(tf)=0
利用3次多项式来拟合轨迹：
q(t)=a0+a1t+a2t2+a3t3q˙(t)=a1+2a2t+3a3t2
将边界条件代入即可解出参数 a1,…,a3 。
过路径点的3次多项式插值
假设起点与终点的关节速度不为0时，利用3次多项式进行插值。解法同上，不再赘述。
需要注意，选择路径点的关节速度时，要考虑到保证每个路径点的加速度是连续的。
高阶多项式插值
当考虑到机器人关节空间起始点和目标点的加速度时，需采用高阶多项式插值。即修改边界条件为：
q(0)=q0，q˙(0)=q˙0，q¨(0)=q¨0，q(tf)=qfq˙(tf)=q˙fq¨(tf)=q¨f
因此，6个边界条件对应高阶多项式的6个系数， a0,…,a5。
用抛物线过渡的线性插值
中间利用直线线性插值，两端利用抛物线过渡。利用直线段求出关节速度：
q˙tb=qh−qbth−tb
其中 th 为中间时刻， tb 为过渡时刻， qh 为中间位置。假设关节加速度 q¨ 已知，则
qb=q0+12q¨t2b
且我们知道：
q˙b=q¨tb
因此我们可以利用上述3式解出
tb=ff2−q¨2t2f−4q¨(qf−q0)−−−−−−−−−−−−−−√2q¨
为了保证直线存在，加速度不能太小。
过路径点的抛物线过渡线性插值
将邻近路径点用直线相连，路径点附近利用抛物线过渡。求取过渡时间时可以将路径分为第一路径、中间路径和最后路径三种情况分别讨论，原理同上，不再赘述。
B样条插值
首先简要介绍下B样条：
设 m 为样条的次数，在 m+1 个子区间以外的其他子区间上， B样条的取值均为0。 B样条函数可以采用递归的方式进行定义。假设对于自变量 x 有 m+2 个点 xi,xi+1,…,xi+m+1 构成 m+1 个子区间。首先定义 0 次B样条函数：
Ni,0(x)={1,0,x∈[xi.xi+1)x∉[xi,xi+1)
对于 m 次B样条：
Ni,m(x)=x−xixi+m−xiNi,m−1(x)+xi+m−1−xxi+m−1−xi+1Ni+1,m−1(x)
在区间 [x0,xk] 内的任意函数，可以表达为利用第 m 次B样条函数作为基函数的加权和：
f(x)=∑i=−mkaiNi.m(x)
上式包含了 k+m+1 个参数 a 。在每个子区间上，最多为 m+1 个B样条函数的加权和。在进行曲线插值或拟合时，需要确定这 k+m+1 个参数。
有时候为了消除在非期望点的波动，可以利用相邻期望点的中间点作为控制点。
B样条的主要特点是在局部的修改不会引起样条形状的大范围变化。
笛卡尔空间运动规划
笛卡尔空间的路径规划，就是计算机器人在给定路径上各点处的位置与姿态。
位置规划
对于直线运动：
P(i)=P1+αi
其中 P 是位置， α 为步长。
对于圆弧运动：
假设圆弧由 P1,P2,P3 点构成，首先利用2平面的交点确定圆心位置，进而计算出半径。利用矢量相加一步步规划出 P1 到 P3 每个中间点的位置。
姿态规划
假设机器人在起始位置的姿态为 R1 ，在目标位置的姿态为 R2 ，则机器人需要调整的姿态 R 为：
R=RT1R2
利用通用旋转变换求取等效转轴与转角，进而求取机器人第 i 步相对于初始姿态的调整量。
在笛卡尔空间中，将机器人的第 i 步的位置与姿态相结合，得到机器人第 i 步的位置与姿态矩阵：
T(i)=(RiR(i)0P(i)1)
