前 言
本书可以作为工科、理科、数学和计算机科学专业学生的教科书.初等微积分和矩阵代数是数值分析课程的先修课程.该书的首要目的在于构造并剖析科学和工程问题的求解算法，其次是帮助读者在该领域中寻找某些重要的定理，这些定理集成起来就构成当代数值和计算科学时下研究与发展的活跃领域.
数值分析学科中充溢着有用的理念.本书尽力用大量明晰的技巧讲述该主题，同时避免一些不相关的方法和概念.为了更深入地理解，读者需要学习的不仅仅是如何编码实现牛顿方法、龙格库塔方法，以及快速傅里叶变换，而是必须领会那些重要的定理.这些定理深深渗入数值分析学科，并融入数值分析中关于精度和效率的重要概念.
收敛、复杂度、条件、压缩以及正交是数值分析中最重要的五个概念.当提供足够多的计算资源时，任何有价值的近似方法都必须能够收敛到正确的解.该近似方法的复杂度是其使用计算资源的一种度量方式.一个问题的条件，或者对于误差放大的敏感性，是知晓该问题受到攻击可能性的基础.大量数值分析最新应用尽力以更短或者压缩的方式理解数据.最后，正交是许多算法中提升效率的关键，特别是在条件也是算法中的一个方面，或者数据压缩是算法的目标时.
在本书中，当代数值分析中的五大概念使用加方框的方式重点强调，利用这些概念对主题进行即时评述，同时描述与该书其他部分出现的相同概念的其他表达方式非正式的联系.我们希望以这样显式的方式强调五大概念，可以如同希腊合唱团一般，突出当前理论的重点.
我们都知道数值分析的理念对于现代工程和科学实践尤为重要，“事实验证”板块提供了利用数值方法解决重要的科学和技术问题的实例.本书选择的这些扩展的应用贴合时代并贴近日常的体验. 尽管不可能（可能也不需要）提供这些问题的所有细节，但事实验证还是尽量深入地展示一个技术或者算法如何利用少量的数学知识获得技术和功能上的巨大回报.事实验证被证明是第1版中学生作业和项目的一个主要来源，第2版中对其进行了扩展和详述.
新版特色.第2版主要扩展了方程组求解方法.在第2章中加入了楚列斯基（Cholesky）分解法求解对称的正定矩阵方程.在第4章中针对大规模的线性系统，加入对于Krylov方法（包括GMRES方法）的讨论，以及对于对称和非对称问题的预条件的使用.在新版中还加入了改进的格拉姆施密特（Gram-Schmidt）正交法和Levenberg-Marquardt方法.第8章中的PDE问题已被扩展到了非线性PDE，包括反应扩散方程和模式形成.为了提高可读性，根据学生的反馈对于注释材料进行了修订，并在整本书中加入新的习题和编程问题.
技术. MATLAB软件工具包用于展示算法，并作为学生作业和项目的平台.在书中MATLAB代码的数量认真地调整过，因为事实证明太多的代码往往有负面的作用.在前面的章节中可以找到更多的MATLAB代码，以便读者在阅读的过程中循序渐进地熟悉MATLAB代码.在某些提供更详细代码的章节（例如，插值、常微分和偏微分方程），则希望读者可以使用提供的代码作为起点进行开发和扩展.
在使用本书的过程中利用任何特定的计算平台并不重要，但是当前MATLAB在工科和理科院系中的使用越来越多，所以本书中使用MATLAB进行阐述.在MATLAB中，所有数据接口问题，例如数据输入和输出、绘图等，可以一下子解决.数据结构问题（例如研究稀疏矩阵时可能遇到的问题）可以通过使用适当指令对其进行规范化.MATLAB还可以进行音频和图像文件的输入和输出.由于MATLAB内嵌动画指令，很容易实现微分方程仿真.以上这些通过其他方式也可以实现.但是使用一个能在几乎所有操作系统上运行的工具包有助于简化细节，使得学生更专注于真正的数学问题.附录B是MATLAB教程，可以作为入门介绍，或者用于熟悉MATLAB的学生参考.
本书网站www.pearsonhighered.com/sauer中包括所有书中的MATLAB程序，以及一些新的材料和更新供读者下载.
课程设计. 本书从一开始的基础、初级理论逐步过渡到更加复杂的概念.第0章介绍有助于理解书中主要算法的基础知识.部分教师喜欢从头开始，其他一些教师（包括作者）倾向于从第1章开始，并在需要的时候再讲述第0章中的部分内容.第1章和第2章讨论各种形式方程的求解问题.第3章和第4章主要讲述数据拟合、插值和最小二乘法.第5～8章又回到了经典的连续数学问题的数值分析领域，包括：数值微分和积分，常微分和偏微分方程在初值条件和边值条件下的求解.
第9章讲述随机数（用于提供第5～8章问题的补充方法），包括：作为标准数值积分替代的蒙特卡罗方法，以及对应的随机微分方程，这些方法在模型中出现不确定性的情况下是必需的.
尽管压缩方法通常隐藏在插值、最小二乘、傅里叶变换的描述中，但压缩是数值分析的一个核心问题，我们在第10章和第11章中讲述现代压缩技术.在第10章中，利用快速傅里叶变换从精确和最小二乘的观点实现三角插值.在第11章中，强调了和语音压缩的联系，阐述了离散余弦变换——现代语音和图像压缩中的一个标准方法.在第12章中，特征值与奇异值的描述用于强调其与数据压缩的联系，这在当前的应用中变得越来越重要.第13章是对优化技术的一个简短描述.
目 录
前言
第0章 基础知识
0.1 多项式求值
0.2 二进制数字
0.2.1 将十进制转化为二进制
0.2.2 将二进制转化为十进制
0.3 实数的浮点表示
0.3.1 浮点格式
0.3.2 机器表示
0.3.3 浮点数加法
0.4 有效数字缺失
0.5 微积分回顾
第1章 求解方程
1.1 二分法
1.1.1 把根括住
1.1.2 多准？多快
1.2 不动点迭
1.2.1 函数的不动点
1.2.2 不动点迭代几何
1.2.3 不动点迭代的线性收敛
1.2.4 终止条件
1.3 精度的极限
1.3.1 前向与后向误差
1.3.2 威尔金森多项式
1.3.3 根搜索的敏感性
1.4 牛顿方法
1.4.1 牛顿方法的二次收敛
1.4.2 牛顿方法的线性收敛
1.5 不需要导数的根求解
1.5.1 割线方法及其变体
1.5.2 Brent方法
第2章 方程组
2.1 高斯消去法
2.1.1 朴素的高斯消去法
2.1.2 操作次
2.2 LU分解
2.2.1 高斯消去法的矩阵形式
2.2.2 使用LU分解回代
2.2.3 LU分解的复杂度
2.3 误差来源
2.3.1 误差放大和条件数
2.3.2 淹没
2.4 PA=LU分解
2.4.1 部分主元
2.4.2 置换矩阵
2.4.3 PA=LU分解
2.5 迭代方法
2.5.1 雅可比方法
2.5.2 高斯塞德尔方法和SOR
2.5.3 迭代方法的收敛
2.5.4 稀疏矩阵计算
2.6 用于对称正定矩阵的方法
2.6.1 对称正定矩阵
2.6.2 楚列斯基分解
2.6.3 共轭梯度方法
2.6.4 预条件
2.7 非线性方程组
2.7.1 多元牛顿方法
2.7.2 Broyden方法
第3章 插值
3.1 数据和插值函数
3.1.1 拉格朗日插值
3.1.2 牛顿差商
3.1.3 经过n个点的d阶多项式有多少
3.1.4 插值代码
3.1.5 通过近似多项式表示函数
3.2 插值误差
3.2.1 插值误差公式
3.2.2 牛顿形式和误差公式的证明
3.2.3 龙格现象
3.3 切比雪夫插值
3.3.1 切比雪夫理论
3.3.2 切比雪夫多项式
3.3.3 区间的变化
3.4 三次样条
3.4.1 样条的性质
3.4.2 端点条件
3.5 贝塞尔曲线
